Question

【題目】如圖1，等邊邊長為6，是的中線，為線段（不包括端點、上一動點，以為一邊且在左下方作如圖所示的等邊，連結．

（1）點在運動過程中，線段與始終相等嗎？說說你的理由；

（2）若延長至，使得，如圖2，問：

①求出此時的長；

②當點在線段的延長線上時，判斷的長是否為定值，若是請直接寫出的長；若不是請簡單說明理由．

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）①；②定值，8．

【解析】

（1）先證明，然后依據證明，由全等三角形的性質可得到；

（2）過點作，垂足為，先依據等腰三角形三線合一的性質求得，然后由可求得，依據含直角三角形的性質可求得的長，從而可求得的長，然后在中依據勾股定理可求得的長，故此可求得的長，最后根據求解即可；

（3）首先根據題意畫出圖形，過點作，垂足為．先證，從而得到，由含直角三角形的性質可求得的長，依據勾股定理可求得的長，然后由等腰三角形三線合一的性質可得到，故此可求得的長．

（1）．

理由如下：

和均為等邊三角形，

，，．

，

．

在和中，，

．

；

（2）如圖2所示：過點作，垂足為．

，是的中線，

．

由（1）可知：，

，．

在中，，

，．

在中，，，

，

．

；

（3）如圖3所示：過點作，垂足為．

和均為等邊三角形，

，，．

，即，

在和中，，

，

．

在中，，

．

，，

．

．

．