Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-1，0）、B（3，0），頂點(diǎn)為D，連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F。

（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PEDF為平行四邊形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△BCF的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值。

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意
解得
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3。
（2）存在
理由如下：設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b
則
解得
∴直線BC的解析式是y=-x+3
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴拋物線對(duì)稱軸是x=1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，4），
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，2），
∴DE=4-2=2，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（x，-x+3），
點(diǎn)F的坐標(biāo)是F（x，-x²+2x+3），
∴PF=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
若四邊形PEDF是平行四邊形，則PF=DE，
即-x²+3x=2，解得x=2，x=1（舍去）
∴-x+3=-2+3=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1），
∴存在點(diǎn)P（2，1），
使得四邊形PEDF為平行四邊形。
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，PF=-m²+3m，
設(shè)點(diǎn)B到PF的距離是h₁，點(diǎn)C到PF的距離是h₂，
則S_△BCF=S_△PBF+S_△PCF，
=×PF×h₁+×PF×h₂，
=×PF×（h₁+h₂），
=（-m²+3m）×3，
=-（m-）²+，
∴S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為S=-（m-）²+，
當(dāng)m=時(shí)，S的最大值為。