Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（，0）、B（，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，）
（1）求拋物線的解析式，并求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在y軸的負(fù)半軸上是否存在以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）取點(diǎn)E（，0），F(xiàn)（0，），直線l經(jīng)過E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)G是線段AD的中點(diǎn)①點(diǎn)G是否在直線l上？請說明理由；
②在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在x軸上？若存在，請寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（，0）、B（，0），
∴設(shè)該拋物線的解析式為y=a（x+）（x-）（a≠0），
把C（0，）代入，得
=-a，
解得，a=-1，
∴該拋物線的解析式為y=-（x+）（x-）=-（x+）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-，4）．
綜上所述，拋物線的解析式是y=-（x+）（x-）（或y=-（x+）²+4），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-，4）；

（2）如圖1，在y軸負(fù)半軸上存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，t）（t＜0），
∵A（，0）、B（，0），C（0，），
∴OA=，OB=，OC=，OP=-t．
∵∠AOC=∠BOP=90°，
∴只有△BOP∽△AOC和△POB∽△AOC兩種情況．
①當(dāng)△BOP∽△AOC時，=，即=，解得t=-，則此時P（0，-）；
②當(dāng)△POB∽△AOC時，=，即=，解得t=-1，則此時P（0，-1）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，-）或P（0，-1）；

（3）如圖2，①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線l經(jīng)過點(diǎn)E（，0），F(xiàn)（0，），則，
解得，，
則直線l的解析式為：y=-x+．
∵A（，0）、D（-，4），
∴線段AD的中點(diǎn)G的坐標(biāo)是（-，2），
當(dāng)x=-時，y=-×（-）+=2，即點(diǎn)G（-，2）在直線l上；
②在拋物線上存在符合條件的點(diǎn)M．
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點(diǎn)為H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-，0），
∵E（，0），A（，0）、D（-，4），
∴AE=DE，
又∵點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，
∴直線l是線段BD的垂直平分線，
∴點(diǎn)D關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)就是點(diǎn)B，
∴點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)，
易求直線DE的解析式為：y=-x+2．
則，
解得，，
則符合條件的點(diǎn)M有2個，它們的坐標(biāo)分別是（-，4）、（-，）．
分析：（1）已知拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)，所以設(shè)該拋物線的解析式為y=a（x+）（x-）（a≠0），然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求a的值即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出OA、OC的長．因為∠AOC=∠BOP=90°，所以只有△BOP∽△AOC和△POB∽△AOC兩種情況．利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OP的長，從而得解；
（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線l的解析式，再利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征驗證即可；
②設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點(diǎn)為H，求出OE、OF、HD、HB的長，然后求出△OEF和△HDB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)點(diǎn)D關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)就是B，從而判斷出點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)，再設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到符合條件的點(diǎn)M．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，求頂點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，點(diǎn)在直線上的驗證，相似三角形的判定與性質(zhì)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（2）要根據(jù)對應(yīng)邊的不同分情況討論，（3）求出直線l是線段BD的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．