Question

如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O．
（1）若∠ABC=45°，∠ACB=55°，則∠BOC=______°
（2）若∠A=66°，則∠BOC=______°
（3）若∠BOC=120°，則∠A=______°
（4）當(dāng)∠A=n°（n為已知數(shù)）時(shí)，猜測(cè)∠BOC=______．（用含n的式子表示）

Answer 1

解：（1）∵BO、CO分別為∠ABC、∠ACB的角平分線，
∴∠ABO=∠CBO=∠ABC=22.5°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=27.5°，
則∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=130°；

（2）∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=114°，
∵BO、CO分別為∠ABC、∠ACB的角平分線，
∴∠ABO=∠CBO=∠ABC，∠ACO=∠BCO=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=57°，
則∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=123°；

（3）∵∠BOC=120°，
∴∠OBC+∠OCB=60°，
∵BO、CO分別為∠ABC、∠ACB的角平分線，
∴∠ABO=∠CBO=∠ABC，∠ACO=∠BCO=∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=120°，
則∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=60°；

（4）∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=（180-n）°，
∵BO、CO分別為∠ABC、∠ACB的角平分線，
∴∠ABO=∠CBO=∠ABC，∠ACO=∠BCO=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180-n）°，
則∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（180-n）°=90°+n°．
故答案為：（1）130；（2）123；（3）60；（4）90°+n°．
分析：（1）由BO、CO分別為角平分線，得到兩對(duì)角相等，根據(jù)∠ABC與∠ACB的度數(shù)求出∠OBC與∠OCB的度數(shù)，即可求出∠BOC的度數(shù)；
（2）由∠A的度數(shù)，利用內(nèi)角和定理求出∠ABC與∠ACB的度數(shù)之和，根據(jù)BO、CO為角平分線，得到兩對(duì)角相等，根據(jù)∠ABC與∠ACB的度數(shù)之和求出∠OBC與∠OCB的度數(shù)之和，即可求出∠BOC的度數(shù)；
（3）根據(jù)∠BOC的度數(shù)，利用內(nèi)角和定理求出∠OBC+∠OCB，根據(jù)BO、CO分別為角平分線，得到兩對(duì)角相等，確定出∠ABC與∠ACB的度數(shù)之和，即可求出∠A的度數(shù)；
（4）同（2）即可表示出∠BOC．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線定義，熟練掌握內(nèi)角和定理是解本題的關(guān)鍵．