Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，以AB為一邊向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心為O，OC=4

2

，則BC邊的長為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：計算題

分析：作EQ⊥x軸，以C為坐標原點建立直角坐標系，CB為x軸，CA為y軸，則A（0，3）．設B（x，0），由于O點為以AB一邊向三角形外作正方形ABEF的中心，利用AAS得到三角形ABC與三角形BEQ全等，利用全等三角形的對應邊相等得到AC=BQ=3，BC=EQ，設BC=EQ=x，由OM為梯形ACQE的中位線，利用梯形中位線定理表示出OM，再由CM，表示出O坐標，進而表示出OC的長，根據(jù)已知OC的長列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出BC的長．

解答：解：作EQ⊥x軸，以C為坐標原點建立直角坐標系，CB為x軸，CA為y軸，則A（0，3）．
設B（x，0），由于O點為以AB一邊向三角形外作正方形ABEF的中心，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBQ=90°，
∴∠BAC=∠EBQ，
在△ABC和△BEQ中，

∠ACB=∠BQE=90° ∠BAC=∠EBQ AB=EB

，
∴△ACB≌△BQE（AAS），
∴AC=BQ=3，BC=EQ，
設BC=EQ=x，
∴O為AE中點，
∴OM為梯形ACQE的中位線，
∴OM=

3+x

2

，
又∵CM=

1

2

CQ=

3+x

2

，
∴O點坐標為（

3+x

2

，

3+x

2

），
根據(jù)題意得：OC=4

2

=

( 3+x 2 )2+( 3+x 2 )2

，
解得：x=5，
則BC=5．
故答案為：5．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，勾股定理，梯形中位線定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．