Question

圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關系：______；
（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：______個；
（3）圖2中，當∠D=50度，∠B=40度時，求∠P的度數(shù)．
（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．

Answer 1

（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D=∠C+∠B；                    （2分）

（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；
②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；
③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；
④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；
⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；
⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6個；                               （4分）

（3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②（6分）
∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，（7分）
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，（9分）


即2∠P=∠D+∠B，
又∵∠D=50度，∠B=40度，
∴2∠P=50°+40°，
∴∠P=45°；                       

（4）關系：2∠P=∠D+∠B．   
由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4①
由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，②
 ①+②得：
∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1，
∠D+2∠B=2∠P+∠B，
即2∠P=∠D+∠B．