Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）上的一點C過等邊三角形OAB三條高的交點，則點B的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1）．

Answer 1

分析 延長BC交OA于H，連結(jié)OC，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BH⊥OA，OC平分∠AOB，CB=CO，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可表示出C（$\sqrt{3}$t，t），再把C（$\sqrt{3}$t，t）代入中可求出t，從而得到BH的長，然后寫出B點坐標(biāo)．

解答 解：延長BC交OA于H，連結(jié)OC，如圖，
∵點C為等邊三角形OAB三條高的交點，
∴BH⊥OA，OC平分∠AOB，CB=CO，
在Rt△OCH中，設(shè)CH=t，
∵∠COH=30°，
∴OH=$\sqrt{3}$CH=$\sqrt{3}$t，
∴C（$\sqrt{3}$t，t），
把C（$\sqrt{3}$t，t）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$得$\sqrt{3}$t•t=$\sqrt{3}$，解得t₁=-1（舍去），t₂=1，
∴OH=$\sqrt{3}$，CH=1，
∴BH=CH+BC=$\sqrt{3}$+1，
∴B（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1）．
故答案為（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．