Question

如圖，在平面直角坐標系中，半徑為l的⊙B經過坐標原點0，且與x軸、y軸分別交于A，C兩點，過O作⊙B的切線與AC的延長線交于點D．已知點A的坐標為（，0）．
（1）求sin∠CAO的值；
（2）若反比例函數的圖象經過點D，求該反比例函數的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A的坐標及A的位置，得到OA的長，再由AC為圓的直徑，根據半徑的長得出AC的長，在直角三角形OAC中，根據勾股定理求出OC的長，進而根據∠CAO的對邊OC及斜邊AC的長，利用銳角三角形函數定義即可求出sin∠CAO的值；
（2）連接OB，由OD為圓B的切線，根據切線的性質得到OB與OD垂直，即∠BOD為直角，又OA=OB，根據等邊對等角可得一對角相等，再由∠CBO為三角形AOB的外角，根據外角性質可得出∠CBO的度數，進而在直角三角形BOD中求出∠ODB的度數，可得出∠ODB=∠OAD，根據等角對等邊可得OA=OD，由OA的長得出OD的長，然后過D作DE垂直于x軸，由∠DOE為三角形AOD的外角，得出∠DOE的度數，根據斜邊OD的長，利用正弦及余弦函數定義求出DE與OE的長，進而確定出點D的坐標，設過D的反比例函數解析式為y=，把D坐標代入確定出k的值，即可確定出反比例的解析式．
解答：解：（1）由A（，0）得，OA=，
在Rt△AOC中，由AC=2，OA=，
根據勾股定理得：OC=，
則在Rt△AOC中，sin∠CAO==；
（2）連接0B，過D作DE⊥x軸于點E，

∵OD切⊙B于0，∴0B⊥OD，
∵在Rt△AOC中，sin∠CAO=，
∵BA=OB，
∴∠CAO=∠BOA=30°，
∴∠DBO=∠CAO+∠BOA=2∠BOA=60°，又∠BOD=90°，
∴∠ODB=30°，即∠ODA=∠OAD，
∴OD=OA=，
∵∠DOE=60°，DO=，
∴OE=0D=，DE=OD，
∴點D坐標為（），
設反比例函數解析式為，由其圖象過點D，
∴=，即k=-，
則該反比例函數解析式為，即．
點評：此題考查了切線的性質，三角形外角的性質，勾股定理，銳角三角函數定義，以及利用待定系數法求反比例函數的解析式，已知切線，常常連接圓心與切點，由切線性質得垂直，利用直角三角形的性質來解決問題．