Question

7．如圖，我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”．如果一條直線與果圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則這條直線叫做果圓的切線．已知A、B、C、D四點(diǎn)為果圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，E為半圓的圓心，拋物線的解析式為y=x²-2x-3，AC為半圓的直徑．
（1）分別求出A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式；
（3）若經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線與x軸交于點(diǎn)M，求△OBM的面積．

Answer 1

分析 （1）連接DE，根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)題意求出半圓的直徑，根據(jù)勾股定理求出OD的長(zhǎng)，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)射影定理求出EF的長(zhǎng)，得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式；
（3）根據(jù)切線的性質(zhì)得到經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)一元二次方程的判別式解答即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）連接DE，
∵y=x²-2x-3，
∴x=0時(shí)，y=-3，
y=0時(shí)，x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
∵AC=4，
∴AE=DE=2，
∴OE=1，
∴OD=$\sqrt{D{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}$）；
（2）∵DF是果圓的切線，
∴ED⊥DF，又DO⊥EF，
∴DE²=EO•EF，
∴EF=4，則OF=3，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3，0），
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴經(jīng)過點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（3）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為：y=ax+c，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-3），
∴經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為：y=ax-3，
由題意得，方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$只有一個(gè)解，
即一元二次方程x²-（a+2）x=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
△=（a+2）²-4×1×0=0，
解得a=-2，
∴經(jīng)過點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為：y=-2x-3，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，0），即OM=$\frac{3}{2}$，
∴△OBM的面積=$\frac{1}{2}$×OM×OB=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓的切線的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的定理、數(shù)形結(jié)合思想以及方程思想是解題的關(guān)鍵．