Question

15．如圖，已知△ABC的內(nèi)角∠A=a，分別作內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的平分線，兩條平分線交于點A₁，得∠A₁；∠A₁BC和∠A₁CD的平分線交于點A₂，得∠A₂；…以此類推得到∠A₂₀₁₆，則∠A₂₀₁₆的度數(shù)是$\frac{α}{{2}^{2016}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可求出∠A₁的度數(shù)，同理求出∠A₂，可以發(fā)現(xiàn)后一個角等于前一個角的$\frac{1}{2}$，根據(jù)此規(guī)律即可得解．

解答 解：∵A₁B是∠ABC的平分線，A₁C是∠ACD的平分線，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=α，
∴∠A₁=$\frac{α}{2}$；
同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$α=$\frac{α}{{2}^{2}}$，
∴∠A_n=$\frac{α}{{2}^{n}}$，
∴∠A₂₀₁₆=$\frac{α}{{2}^{2016}}$．
故答案為：$\frac{α}{{2}^{2016}}$

點評 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．