Question

如圖，矩形OABC的頂點A（2，0）、C（0，2

3

）．將矩形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)30°．得矩形OEFG，線段GE、FO相交于點H，平行于y軸的直線MN分別交線段GF、GH、GO和x軸于點M、P、N、D，連結(jié)MH．
（1）若拋物線l：y=ax²+bx+c經(jīng)過G、O、E三點，則它的解析式為：

 

；
（2）如果四邊形OHMN為平行四邊形，求點D的坐標；
（3）在（1）（2）的條件下，直線MN與拋物線l交于點R，動點Q在拋物線l上且在R、E兩點之間（不含點R、E）運動，設△PQH的面積為s，當

3

6

＜s≤

3

2

時，確定點Q的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）求解析式一般采用待定系數(shù)法，通過函數(shù)上的點滿足方程求出．
（2）平行四邊形對邊平行且相等，恰得MN為

1

2

OF，即為中位線，進而橫坐標易得，D為x軸上的點，所以縱坐標為0．
（3）已知S范圍求橫坐標的范圍，那么表示S是關(guān)鍵．由PH不為平行于x軸或y軸的線段，所以考慮利用過動點的平行于y軸的直線切三角形為2個三角形的常規(guī)方法來解題，此法底為兩點縱坐標得差，高為橫坐標的差，進而可表示出S，但要注意，當Q在O點右邊時，所求三角形為兩三角形的差．得關(guān)系式再代入

3

6

＜s≤

3

2

，求解不等式即可．另要注意求解出結(jié)果后要考慮Q本身在R、E之間的限制．

解答：解：（1）如圖1，過G作GI⊥CO于I，過E作EJ⊥CO于J，
∵A（2，0）、C（0，2

3

），
∴OE=OA=2，OG=OC=2

3

，
∵∠GOI=30°，∠JOE=90°-∠GOI=90°-30°=60°，
∴GI=sin30°•GO=

1

2

•2

3

=

3

，
  IO=cos30°•GO=

3

2

•2

3

=3，
  JE=cos30°•OE=

3

2

•2=

3

，
  JO=sin30°•OE=

1

2

•2=1，
∴G（-

3

，3），E（

3

，1），
設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵經(jīng)過G、O、E三點，
∴

3a- 3 b+c=3 3a+ 3 b+c=1 0+0+c=0

，
解得

a= 2 3 b=- 3 3 c=0

，
∴y=

2

3

x²-

3

3

x．

（2）∵四邊形OHMN為平行四邊形，
∴MN∥OH，MN=OH，
∵OH=

1

2

•OF，
∴MN為△OGF的中位線，
∴x_D=x_N=

1

2

•x_G=-

3

2

，
∴D（-

3

2

，0）．

（3）設直線GE的解析式為y=kx+b，
∵G（-

3

，3），E（

3

，1），
∴

- 3 k+b=3 3 k+b=1

，
解得

k=- 3 3 b=2

，
∴y=-

3

3

x+2．
∵Q在拋物線y=

2

3

x²-

3

3

x上，
∴設Q的坐標為（x，

2

3

x²-

3

3

x），
∵Q在R、E兩點之間運動，
∴-

3

2

＜x＜

3

．
①當-

3

2

＜x＜0時，
如圖2，連接PQ，HQ，過點Q作QK∥y軸，交GE于K，則K（x，-

3

3

x+2），
∵S_△PKQ=

1

2

•（y_K-y_Q）•（x_Q-x_P），
  S_△HKQ=

1

2

•（y_K-y_Q）•（x_H-x_Q），
∴S_△PQH=S_△PKQ+S_△HKQ=

1

2

•（y_K-y_Q）•（x_Q-x_P）+

1

2

•（y_K-y_Q）•（x_H-x_Q）
=

1

2

•（y_K-y_Q）•（x_H-x_P）=

1

2

•[-

3

3

x+2-（

2

3

x²-

3

3

x）]•[0-（-

3

2

）]=-

3

6

x²+

3

2

．
②當0≤x＜

3

時，
如圖3，連接PQ，HQ，過點Q作QK∥y軸，交GE于K，則K（x，-

3

3

x+2），
同理 S_△PQH=S_△PKQ-S_△HKQ=

1

2

•（y_K-y_Q）•（x_Q-x_P）-

1

2

•（y_K-y_Q）•（x_Q-x_H）
=

1

2

•（y_K-y_Q）•（x_H-x_P）=-

3

6

x²+

3

2

．
綜上所述，S_△PQH=-

3

6

x²+

3

2

．
∵

3

6

＜s≤

3

2

，
∴

3

6

＜-

3

6

x²+

3

2

≤

3

2

，
解得-

2

＜x＜

2

，
∵-

3

2

＜x＜

3

，
∴-

3

2

＜x＜

2

．

點評：本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)與圖象，直角三角形及坐標系中三角形面積的表示等知識點．注意其中“利用過動點的平行于y軸的直線切三角形為2個三角形的常規(guī)方法來表示面積”是近幾年中考的考查熱點，需要加強理解運用．