Question

如圖所示，已知拋物線y=x²-1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C。
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積；
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG垂直x軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似？若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由。

Answer 1

解：（1）令y=0，得x²-1=0，
解得x=士1，
令x=0，得y= -1，
∴A（1，0），B（-1，0），C（0，-1）；
（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BC0=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°，
過點P作PE⊥x軸于E，則△APE為等腰直角三角形，
令OE =a，則PE=a+1，
∴P（-a，a+1），
∵點P在拋物線y=x²-1上，
∴a+1=a²-1，
解得a₁=2，a₂=-1（不合題意，舍去），
∴PE=3，
∴四邊形ACBP的面積S=AB·OC+AB·PE =×2×1+×2×3=4；
（3）假設存在，
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC，
∵MG垂直x軸于點G，
∴∠MGA=∠PAC=90°，
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=3
設M點的橫坐標為m，則M（m，m²-1），
①點M在y軸右側時，則m>1，
（i）當△AMG∽△PCA時，有，
∵AG=m-1，MG=m²-1，
即
解得m₁=1（舍去），m₂=-（舍去），
（ ii）當△MAC∽△PCA時有，
即
解得：m₁=1（舍去），m₂=2，
∴M（2，3），
②點M在y軸左側時，則m<-1，
（i）當△AMG∽△PCA時有，
∵AG=-m+1，MG=m²-1，
∴
解得m₁=1（舍去），m₂=-，
∴M（-，），
（ ii） 當△MAG∽△PCA時有，
即
解得：m₁=1（舍去），m₂=-4，
∴M（-4，15），
∴存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似，
M點的坐標為（2，3），（-，）或（-4，15）。