Question

如圖，?ABCD中，E是BC的中點，AE=9，BD=12，AD=10．
（1）求證：AE⊥BD；
（2）求?ABCD的面積．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質

專題：

分析：（1）先證明△AFD∽△EFB，進而算出EF=3，BF=4，BE=5，再證明△BFE是直角三角形，從而證得AE⊥BD；
（2）再求解△ABE的面積，進一步求出平行四邊形的面積．進而得到△BAD的面積，最后求得平行四邊形ABCD的面積．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴△AFD∽△EFB，
∵E是BC的中點，
∴BE=

1

2

AD，
∴

FE

AF

=

BE

AD

=

1

2

，
∵AE=9，BD=12，AD=10，
∴EF=3，BF=4，BE=5，
∵3²+4²=5²，
∴△BFE是直角三角形，
∴AE⊥BD；

（2）∵AE⊥BD，
∴S_△BEF=

1

2

•BF•EF=6，
又∵S_△BFE：S_△ABF=EF：FA=1：2，
∴S_△ABF=12，得S_△ABE=18，
∵E是BC的中點，
∴S_?ABCD=4S_△ABE=72．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理逆定理，平行四邊形的性質，關鍵是證出△BFE是直角三角形，算出△ABE的面積．