Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上，過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)EF與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交與點(diǎn)F，AC⊥EF，垂足為C，AE平分∠FAC．

（1）求證：CF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）∠F=30°時(shí)，求的值？

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）連接OE，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)和等邊對(duì)等角可得出OE∥AC，則∠OEF=∠ACF，由AC⊥EF，則∠OEF=∠ACF=90°，從而得出OE⊥CF，即CF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）由OE∥AC，則△OFE∽△AFC，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方，從而得出的值．

試題解析：（1）連接OE，

∵AE平分∠FAC，

∴∠CAE=∠OAE，

又∵OA=OE，∠OEA=∠OAE，∠CAE=∠OEA，

∴OE∥AC，

∴∠OEF=∠ACF，

又∵AC⊥EF，

∴∠OEF=∠ACF=90°，

∴OE⊥CF，

又∵點(diǎn)E在⊙O上，

∴CF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）∵∠OEF=90°，∠F=30°，

∴OF=2OE，

又OA=OE，

∴AF=3OE，

又∵OE∥AC，

∴△OFE∽△AFC，

∴，

∴，

∴