Question

求證方程x²＋y²＝2006無整數(shù)解．

Answer 1

答案：
解析：

證明：假設(shè)方程x2＋y2＝2006有整數(shù)解，因2006是偶數(shù)，x、y的奇偶性必相同． 　　若x、y均為偶數(shù)，則4|x2＋y2|，但42006，矛盾； 　　若x、y均為奇數(shù)，設(shè)x＝2k1－1，y＝2k2－1(k1、k2均為整數(shù))，于是 　　x2＋y2＝(2k1－1)2＋(2k1－1)2＝4－4k1＋1＋4－4k2＋1＝4(－k1)＋4(－k2)＋2， 　　∵與k1、與k2的奇偶性分別相同，且它們的差都是2的倍數(shù)， 　　∴x2＋y2＝4(－)＋4(－k2)＋2＝8k＋2(k是整數(shù))， 　　但2006＝8×250＋6，矛盾． 　　所以方程x2＋y2＝2006無整數(shù)解． 　　分析：直接證明非常困難，可從問題的反面進行考慮．假設(shè)方程有整數(shù)解，推出矛盾的事實即可．