Question

（2012•驛城區(qū)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，E、F分別為AB、CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終保持△EMF為直角三角形，其中∠EMF=90°．則直角三角形的斜邊EF的取值范圍是

4≤EF≤5

．

Answer 1

分析：根據(jù)同角的余角相等求出∠BME=∠CFM，然后求出△BME和△CFM相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BE、CF的關(guān)系，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD于G，表示出FG=CF-BE，然后根據(jù)勾股定理列式求出EF²，再根據(jù)CF的取值范圍確定出BE的長(zhǎng)，然后求出EF²的取值范圍，從而得解．

解答：解：∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，
∴BM=CM=2，
∵∠EMF=90°，
∴∠BME+∠CMF=90°，
∵∠CFM+∠CMF=90°，
∴∠BME=∠CFM，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△BME∽△CFM，
∴

BM

CF

=

BE

CM

，
∴BE•CF=BM•CM=2×2=4，
∵CF最大時(shí)為4，此時(shí)BE=1，BE最大時(shí)為4，此時(shí)CF=1，
∴0≤CF-BE≤3，
過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD于G，
則EG=BC=4，
在Rt△EFG中，EF²=EG²+FG²=16+（CF-BE）²，
∴16≤EF²≤16+9，
∴4≤EF≤5．
故答案為：4≤EF≤5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，要注意根據(jù)等式求出CF、BE的取值范圍，這也是本題的難點(diǎn)．