Question

如圖，AB是⊙O的直徑，動弦CD垂直AB于點E，過點B作直線BF∥CD交AD的延長線于點F，若AB=10cm．
（1）求證：BF是⊙O的切線．
（2）若AD=8cm，求BE的長．
（3）若四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD為何種四邊形？并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，BF∥CD，
∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切線；
（2）如圖1，連接BD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
又∵DE⊥AB
∴AD²=AE×AB；
∵AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm，
∴BE=AB﹣AE=3.6cm；
（3）連接BC．四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD是正方形．理由如下：
∵四邊形CBFD為平行四邊形，
∴BC∥FD，即BC∥AD；
∴∠BCD=∠ADC（兩直線平行，內錯角相等），
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所對的圓周角相等），
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；
又∵∠BDA=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠CAD=∠BDA=90°，
∴CD是⊙O的直徑，即點E與點O重合（或線段CD過圓心O），如圖2，
在△OBC和△ODA中，∵，

∴△OBC≌△ODA（SAS），
∴BC=DA（全等三角形的對應邊相等），
∴四邊形ACBD是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；
∵∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），AC=AD，
∴四邊形ACBD是正方形．