Question

14．如圖，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E為CD邊上一點(diǎn)，CE=6．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接PE．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求AE的長；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PAE為直角三角形？
（3）是否存在這樣的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）在直角△ADE中，利用勾股定理進(jìn)行解答；
（2）需要分類討論：AE為斜邊和AP為斜邊兩種情況下的直角三角形；
（3）假設(shè)存在．利用角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及等量代換推知：∠PEA=∠EAP，則PE=PA，由此列出關(guān)于t的方程，通過解方程求得相應(yīng)的t的值即可．

解答 解：（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，
∴CD=AB=9，∠D=90°，
∴DE=9-6=3，
∴AE=$\sqrt{D{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；

（2）①若∠EPA=90°，t=6；
②若∠PEA=90°，（6-t）²+4²+5²=（9-t）²，
解得t=$\frac{2}{3}$．
綜上所述，當(dāng)t=6或t=$\frac{2}{3}$時(shí)，△PAE為直角三角形；

（3）假設(shè)存在．
∵EA平分∠PED，
∴∠PEA=∠DEA．
∵CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAP，
∴∠PEA=∠EAP，
∴PE=PA，
∴（6-t）²+4²=（9-t）²，
解得t=$\frac{29}{6}$．
∴滿足條件的t存在，此時(shí)t=$\frac{29}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合題，綜合勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，要注意分類討論，以防漏解．