Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，∠BCD=90°，tan∠ADC=2，點E在梯形內(nèi)，點F在梯形外，，∠EDC=∠FBC，且DE=BF．
（1）判斷△ECF的形狀特點，并證明你的結(jié)論；
（2）若∠BEC=135°，求∠BFE的正弦值．

Answer 1

（1）答：是等腰直角三角形，
證明：作AH⊥CD于H，
∵梯形ABCD中，∠BCD=90°，tan∠ADC=2，即∠ADC≠90°，
∴AB∥CD，
∴四邊形AHCB是平行四邊形，
∴AH=BC，AB=CH，
又∵，即CH+DH=2AB=2CH，
∴DH=CH，CD=2DH，
∵tan∠ADC==2，
∴AH=2DH=CD=BC，
在△EDC和△FBC中，
又∵∠EDC=∠FBC，DE=BF，
∴△EDC≌△FBC
∴CE=CF，∠ECD=∠FCB．
∵∠ECD+∠ECB=∠BCD=90°，
∴∠FCB+∠ECB=90°，
即∠ECF=90°．
∴△ECF是等腰直角三角形．

（2）解：∵在等腰Rt△ECF中，∠ECF=90°，
∴∠CEF=45°，CE=EF，
又∵∠BEC=135°，=0.5，
∴∠BEF=90°，=，
不妨設(shè)BE=，EF=4，則由勾股定理得：BF=，
∴sin∠BFE===，
答：∠BFE的正弦值是．
分析：（1）是等腰直角三角形，理由是作AH⊥CD于H，根據(jù)梯形ABCD得出AB∥CD，AH=BC，AB=CH，推出DH=CH，CD=2DH，由tan∠ADC=2，推出AH=2DH=CD=BC，根據(jù)SAS證出△EDC≌△FBC，推出CE=CF，∠ECD=∠FCB，證出∠ECF=∠BCD=90°即可得到答案；
（2）可求出∠CEF=45°，CE=EF，由已知，求出∠BEF=90°，=，設(shè)BE=，EF=4，根據(jù)勾股定理求出BF=，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．
點評：本題主要考查對直角梯形，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)的定義，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．