Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫“相等點(diǎn)”，例如點(diǎn)，都是“相等點(diǎn)”，顯然“相等點(diǎn)”有無數(shù)個(gè)．

（1）若點(diǎn)是反比例函數(shù)為常數(shù)，)的圖象上的“相等點(diǎn)”，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；

（2）一次函數(shù)為常數(shù)，)的圖象上存在“相等點(diǎn)”嗎？若存在，請用含的式子表示出“相等點(diǎn)”的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；

（3）若二次函數(shù)為常數(shù))的圖象上有且只有一個(gè)“相等點(diǎn)”，令當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)不存在，當(dāng)時(shí)存在．理由見解析；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象上的“相等點(diǎn)”是；（3）的取值范圍是．

【解析】

（1）根據(jù)相等點(diǎn)的定義求得的值，再用待定系數(shù)法求得解析式；

（2）設(shè)是一次函數(shù)為常數(shù)，的圖象上的“相等點(diǎn)”，代入解析式求得便可；

（3）若二次函數(shù)，為常數(shù)）的圖象上有且只有一個(gè)“相等點(diǎn)”，則二次函數(shù)與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由此得一元二次方程的有且只有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由此列出和的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)的取值范圍求得的取值范圍，再求的取值范圍便可．

解：（1）點(diǎn)是反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象上的“相等點(diǎn)”，

，

，

把代入中，得，

反比例的解析式為；

（2）設(shè)是一次函數(shù)為常數(shù)，的圖象上的“相等點(diǎn)”，則

，

，

當(dāng)，即時(shí)，方程無解，則此時(shí)一次函數(shù)為常數(shù)，的圖象上不存在“相等點(diǎn)”，

當(dāng)，即時(shí)，得，則此時(shí)一次函數(shù)為常數(shù)，的圖象上的“相等點(diǎn)”是，，

故當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)為常數(shù)，的圖象上不存在“相等點(diǎn)”；當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)為常數(shù)，的圖象上的“相等點(diǎn)”是，．

（3）二次函數(shù)，為常數(shù)）的圖象上有且只有一個(gè)“相等點(diǎn)”，

只有一個(gè)解，

，即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

△，

，

，

，，

，，

，

．