Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．
（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)

 

后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的

 

邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過(guò)程）

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)時(shí)間和速度分別求得兩個(gè)三角形中BP、CQ和BD、PC邊的長(zhǎng)，根據(jù)SAS判定兩個(gè)三角形全等．
②根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間公式，先求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求得點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）根據(jù)題意結(jié)合圖形分析發(fā)現(xiàn)：由于點(diǎn)Q的速度快，且在點(diǎn)P的前邊，所以要想第一次相遇，則應(yīng)該比點(diǎn)P多走等腰三角形的兩個(gè)邊長(zhǎng)．

解答：解：（1）①全等，理由如下：
∵t=1秒，
∴BP=CQ=1×1=1厘米，
∵AB=6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=3cm．
又∵PC=BC-BP，BC=4cm，
∴PC=4-1=3cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BPD≌△CQP；

②假設(shè)△BPD≌△CQP，
∵v_P≠v_Q，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，則BP=CP=2，BD=CQ=3，
∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

BP

1

=2秒，
∴v_Q=

CQ

t

=

3

2

=1.5cm/s；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，
由題意，得 1.5x=x+2×6，
解得x=24，
∴點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了24s×1cm/s=24cm．
∵24=2×12，
∴點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AC邊上相遇，
∴經(jīng)過(guò)24秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AC上相遇．

點(diǎn)評(píng)：此題主要是運(yùn)用了路程=速度×?xí)r間的公式．熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠分析出追及相遇的問題中的路程關(guān)系．