Question

已知直線l：y=

1

2

x+1與拋物線y=ax²-2x+c（a＞0）的一個(gè)公共點(diǎn)A恰好在x軸上，點(diǎn)B（4，m）在拋物線上．
（Ⅰ）用含a的代數(shù)式表示c．
（Ⅱ）拋物線在A，B之間的部分（不包含點(diǎn)A，B）記為圖形G，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象解答：若圖形G在直線l下方，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）先利用一次函數(shù)解析式求出A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可得到a與c的關(guān)系式；
（2）先分別計(jì)算出x=4時(shí)所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)值和二次函數(shù)值，然后利用圖形G在直線l下方得到12-12a≤3，然后解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)y=0時(shí)，

1

2

x+1=0，解得x=-2，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
把A（-2，0）代入y=ax²-2x+c得4a+4+c=0，
所以c=-4a-4；
（Ⅱ）當(dāng)x=4時(shí)，y=ax²-2x+c=16a-8-4a-4=12a-12，則B（4，12a-12），
當(dāng)x=4時(shí)，y=

1

2

x+1=3，
因?yàn)閳D形G在直線l下方，
所以12-12a≤3，
解得a≤

5

4

，
所以a的取值范圍為0＜a≤

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減小；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減��；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．