Question

1．已知P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，連接AO并延長，交⊙O于點C，交PB于點D．
（1）如圖1，直接寫出圖中兩組相等的線段；
（2）如圖2，連接PC，交⊙O于點E，若∠APC=∠ADB，求證：PB=2BD；
（3）在（2）的條件下，連接BE，若CD=3，求弦BE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線長定理、圓的半徑相等即可解決問題．
（2）只要證明△PAC∽△DBO，得$\frac{PA}{DB}$=$\frac{AC}{OB}$，由此即可證明．
（3）如圖2中，作CM⊥PD于M，連接AB、OP、EB、BC、OB．想辦法求出PB、BC、PC，由△PEB∽△PBC，推出$\frac{EB}{BC}$=$\frac{PB}{PC}$，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，相等的線段有PA=PB，OA=OC．

（2）如圖1中，連接OB．

∵PA、PB是⊙O切線，
∴DA⊥PA，OB⊥PD，PA=PB，
∴∠CAP=∠OBD=90°，∵∠APC=∠D，
∴△PAC∽△DBO，
∴$\frac{PA}{DB}$=$\frac{AC}{OB}$，
∵AC=2OB，
∴PA=2BD，
∵PA=PB，
∴PB=2BD．

（3）如圖2中，作CM⊥PD于M，連接AB、OP、EB、BC、OB．

∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∵PA=PB，OA=OB，
∴OP⊥AB，
∴BC∥OP，
∴$\frac{CD}{OC}$=$\frac{BD}{PB}$=$\frac{1}{2}$，∵CD=3，
∴OC=6，OD=9，BD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{B}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵CM∥OB，
∴$\frac{CD}{OC}$=$\frac{DM}{DB}$，
∴DM=$\sqrt{5}$，BM=2$\sqrt{5}$，PB=2BD=6$\sqrt{5}$，
∴CM²=CD²-DM²=4，
∴PC=$\sqrt{P{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{5}）^{2}+4}$=18，BC=$\sqrt{C{M}^{2}+B{M}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∵∠EPB=∠CPB，∠PBE=∠PCB，
∴△PEB∽△PBC，
∴$\frac{EB}{BC}$=$\frac{PB}{PC}$，
∴EB=$\frac{2\sqrt{6}×6\sqrt{5}}{18}$=$\frac{2\sqrt{30}}{3}$．

點評 本題考查圓的綜合題、切線長定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形，屬于中考，�？碱}型．