Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

（m≠0）的圖象交于A、B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標(biāo)為（n，12），點C的坐標(biāo)為（-4，0），且tan∠ACO=2．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求點B的坐標(biāo)；
（3）在x軸上求點E，使△ACE為直角三角形．（直接寫出點E的坐標(biāo)）

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）過點A作AD⊥x軸于D，根據(jù)A、C的坐標(biāo)求出AD=12，CD=n+4，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把點的坐標(biāo)代入解析式即可求得反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式；
（2）將反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式聯(lián)立，解方程組即可求得點B的坐標(biāo)；
（3）分兩種情況：①AE⊥x軸，②EA⊥AC，分別寫出E的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）過點A作AD⊥x軸于D，
∵C的坐標(biāo)為（-4，0），A的坐標(biāo)為（n，12），
∴AD=12，CD=n+4，
∵tan∠ACO=2，
∴

AD

CD

=

12

n+4

=2，
解得：n=2，
∴A（2，12），
把A（2，12）代入y=

m

x

，
得m=2×12=24，
∴反比例函數(shù)表達式為：y=

24

x

，
又∵點A（2，12），C（-4，0）在直線y=kx+b上，
∴2k+b=12，-4k+b=0，
解得：k=2，b=8，
∴一次函數(shù)的表達式為：y=2x+8；

（2）由方程組

y=2x+8 y= 24 x

，
解得：

x1=2 y1=12

，

x2=-6 y2=-4

，
∵A（2，12），
∴B（-6，-4）；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)AE⊥x軸時，即點E與點D重合，此時E₁（2，0）；
②當(dāng)EA⊥AC時，此時△ADE∽△CDA，
則

AD

CD

=

DE

AD

，
DE=

144

6

=24，
又∵D的坐標(biāo)為（2，0），
∴E₂（26，0）．
綜上所述，所求點E的坐標(biāo)為E₁（2，0），E₂（26，0）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，銳角三角函數(shù)的定義，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、方程思想與分類討論是解題的關(guān)鍵．