Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．過點(diǎn)D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB，BC交于點(diǎn)M，N.

（1）求過O，B，E三點(diǎn)的二次函數(shù)關(guān)系式；

（2）求直線DE的解析式和點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）若反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，求該反比例函數(shù)的解析式，并通過計(jì)算判斷點(diǎn)N是否在該函數(shù)的圖象上．

 

 

Answer 1

（1）過O，B，E三點(diǎn)的二次函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x2+x；

（2）直線DE的解析式為：y=﹣x+3；M（2，2）；

（3）點(diǎn)N在函數(shù)y= 的圖象上．

【解析】

試題分析：（1）首先把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax2+bx+c，得方程，解此方程即可；

（2）首先設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b，然后將點(diǎn)D，E的坐標(biāo)代入即可求得直線DE的解析式，又由點(diǎn)M在AB邊上，B（4，2），而四邊形OABC是矩形，可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）由反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，可求該反比例函數(shù)的解析式，又由點(diǎn)N在BC邊上，B（4，2），可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為4．然后由點(diǎn)N在直線y=﹣x+3上，求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，即可判斷．

試題解析：（1）設(shè)過O，B，E三點(diǎn)的二次函數(shù)關(guān)系式為：y=ax2+bx+c；

把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax2+bx+c，得，

解得：，

∴過O，B，E三點(diǎn)的二次函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x2+x；

（2）設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b，

∵點(diǎn)D，E的坐標(biāo)為（0，3）、（6，0），

∴，

解得，

∴直線DE的解析式為：y=﹣x+3；

∵點(diǎn)M在AB邊上，B（4，2），而四邊形OABC是矩形，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2．

又∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上，

∴2=﹣x+3．

∴x=2．

∴M（2，2）；

（3）∵y=（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（2，2），

∴m=4．

∴該反比例函數(shù)的解析式為：y=，

又∵點(diǎn)N在BC邊上，B（4，2），

∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為4．

∵點(diǎn)N在直線y=﹣x+3上，

∴y=1．

∴N（4，1）．

∵當(dāng)x=4時(shí)，y==1，

∴點(diǎn)N在函數(shù)y= 的圖象上．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題．