Question

如圖：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ繞點C旋轉(zhuǎn)，在整個旋轉(zhuǎn)過程中，過點A作AD⊥CP，垂足為D，直線AD交CQ于E．
（1）如圖①，當(dāng)∠PCQ在∠ACB內(nèi)部時，求證：AD+BE=DE；
（2）如圖②，當(dāng)CQ在∠ACB外部時，則線段AD、BE與DE的關(guān)系為______；
（3）在（1）的條件下，若CD=6，S_△BCE=2S_△ACD，求AE的長．

Answer 1

（1）證明：如圖，延長DA到F，使DF=DE，
∵CD⊥AE，
∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°，
又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF=BE，
∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，
即AD+BE=DE；

（2）解：如圖，在AD上截取DF=DE，
∵CD⊥AE，
∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，
∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF=BE，
∴AD=AF+DF=BE+DE，
即AD=BE+DE；
故答案為：AD=BE+DE．

（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ECF=45°+45°=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴CD=DF=DE=6，
∵S_△BCE=2S_△ACD，
∴AF=2AD，
∴AD=×6=2，
∴AE=AD+DE=2+6=8．
分析：（1）延長DA到F，使DF=DE，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△BCE全等，根據(jù)全等三角形的即可證明AF=BE，從而得證；
（2）在AD上截取DF=DE，然后根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△BCE全等，根據(jù)全等三角形的即可證明AF=BE，從而得到AD=BE+DE；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CD=DF=DE，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出AF=2AD，然后求出AD的長，再根據(jù)AE=AD+DE代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強，但難度不是很大，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．