Question

如圖，△ABC中，AB=AC=15，∠B=30°，在AB、AC、BC上分別取一點(diǎn)D、E、F，使AD=AE，BD=DF，要使△DEF和△CEF均是直角三角形，那么AD=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,等腰三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：分類討論

分析：由于在△ABC中，AB=AC，AD=AE，可得DE∥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠EDF=30°，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，分∠DEF=90°和∠DFE=90°兩種情況討論可求AD的長．

解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，AD=AE，
∴DE∥BC，
∵∠B=30°，
∴∠EDF=30°，
∴當(dāng)∠DEF=90°時，設(shè)AD=x，則BD=DF=15-x，DE=

3

x，則15-x=

3

2

×

3

x，解得x=6
當(dāng)∠DFE=90°時，設(shè)AD=x，則BD=DF=15-x，DE=

3

x，則

3

2

×（15-x）=

3

x，解得x=5．
綜上所述，AD=5或6．
故答案為：5或6．

點(diǎn)評：考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．