Question

4．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-10，0），點(diǎn)B在第二象限，AO=AB，OB=8$\sqrt{5}$，點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為A₁，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A₁，則k=-48．

Answer 1

分析 連結(jié)AA₁交OB于C點(diǎn)，連結(jié)OA₁，如圖，設(shè)B（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到（x+10）²+y²=10²，x²+y²=（8$\sqrt{5}$）²，通過解方程組得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（（-16，8），再證明AA₁與OB互相垂直平分，根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，4），再得到A₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6，8），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求k的值．

解答 解：連結(jié)AA₁交OB于C點(diǎn)，連結(jié)OA₁，如圖，
設(shè)B（x，y），
∵OA=AB=10，
∴（x+10）²+y²=10²，
∵OB=8$\sqrt{5}$，
∴x²+y²=（8$\sqrt{5}$）²，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{（x+10）^{2}+{y}^{2}=1{0}^{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=（8\sqrt{5}）^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-16}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-16}\\{y=-8}\end{array}\right.$（舍去），
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（（-16，8），
∵AO=AB，
而點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為A₁，
∴AA₁與OB互相垂直平分，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，4），
∴A₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6，8），
把A₁（-6，8）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-6×8=-48．
故答案為-48．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．