Question

16．如圖，分別以△ABC的邊AB、AC向外作等邊△ABE和等邊△ACD，直線BD與直線CE相交于點(diǎn)O．
（1）求證：CE=BD．
（2）如果當(dāng)點(diǎn)A在直線BC的上方變化位置，且保持∠ABC和∠ACB都是銳角，那么∠BOC的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出∠BOC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AE，AC=AD，∠CAD=∠BAE=60°，再求出∠BAD=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△AEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AEC=∠ABD，然后求出∠OEB+∠OBE=∠AEB+∠ABE，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解答．

解答 （1）證明：∵△ABE和△ACD都是等邊三角形，
∴AB=AE，AC=AD，∠CAD=∠BAE=60°，
∵∠BAD=∠CAD+∠BAC，∠EAC=∠BAE+∠BAC，
∴∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴CE=BD；

（2）解：由（1）知，△ABD≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABD，
又∵△ABE是等邊三角形，
∴∠AEB=∠ABE=60°，
∴∠OEB+∠OBE=∠AEB+∠ABE=60°+60°=120°，
在△BOE中，∠BOC=∠OEB+∠OBE=120°，
故∠BOC的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．