Question

20．在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O和I分別為△ABC的外心和內(nèi)心，點(diǎn)D在邊AC上，OD⊥CI，求證：ID∥AB．

Answer 1

分析 首先證明B、I、O、D四點(diǎn)共圓，再證明∠2=∠CAB，于是根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理得到ID∥AC．

解答 證明：（1）延長(zhǎng)AO交BC于M，連接OC．
∵AB=AC，O為外心，
∴AM⊥BC，
∴AM平分∠BAC，
∴∠CAB=2∠7，
∵I為內(nèi)心，
∴點(diǎn)I在AM上，CI平分∠BCA，
∴∠3=∠ACI，
∵CI⊥DO，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠3+∠5=90°，∠4=∠5，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠ACI，
而∠1+∠DOI=180°，
∴∠ACI+∠DOI=180°，
∴C、I、O、D四點(diǎn)共圓；
∴∠2=∠6，
∵點(diǎn)O為外心，
∴OC=OA，
∴∠7=∠OCA，
∴∠6=2∠7=∠2
而∠CAB=2∠7，
∴∠2=∠CAB，
∴ID∥AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握三角形內(nèi)心與外心的性質(zhì)、圓周角定理、四點(diǎn)共圓的判定方法和等腰三角形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用平行線(xiàn)的判定定理證明兩直線(xiàn)平行．