Question

2．如圖，已知拋物線y=ax²-4x+c經(jīng)過點A（0，-6）和B（3，-9）．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）寫出拋物線的對稱軸方程及頂點坐標(biāo)；
（3）點P（m，m）與點Q均在拋物線上（其中m＞0），且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q的坐標(biāo)；
（4）在滿足（3）的情況下，在拋物線的對稱軸上尋找一點M，使得△QMA的周長最小．

Answer 1

分析 （1）把把A點和B點坐標(biāo)代入y=ax²-4x+c得關(guān)于a和c的方程組，然后解方程求出a和c即可得到拋物線解析式；
（2）把（1）中的解析式配成頂點式即可得到拋物線的對稱軸方程和頂點坐標(biāo)；
（3）把P（m，m）代入y=x²-4x-6得m的一元二次方程，解方程求出m得到P點坐標(biāo)，然后利用對稱性確定Q點坐標(biāo)；
（4）連結(jié)AP交直線x=2于點M，如圖，利用兩點之間線段最短可判斷此時MQ+MA最小，則△QMA的周長最小，再利用待定系數(shù)法求出直線AP的解析式，然后計算自變量為2的函數(shù)值即可得到滿足條件的M點坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（0，-6），B（3，-9）代入y=ax²-4x+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{9a-12+c=-9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=x²-4x-6；
（2）因為y=x²-4x-6=（x-2）²-10，
所以拋物線的對稱軸方程為x=2，拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，-10）；
（3）把P（m，m）代入y=x²-4x-6得m²-4m-6=m，
整理得m²-5m-6=0，解得m₁=-1（舍去），m₂=6，則P點坐標(biāo)為（6，6），
點P（6，6）關(guān)于直線x=2的對稱點為（-2，6），
即點Q的坐標(biāo)為（-2，6）；
（4）連結(jié)AP交直線x=2于點M，如圖，
∵P點和Q點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∵MA=MP，
∴MQ+MA=MP+MP=AP，
∴此時MQ+MA最小，則△QMA的周長最小，
設(shè)AP的解析式為y=kx+b，
把A（0，-6），P（6，6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{6k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直線AP的解析式為y=2x-6，
當(dāng)x=2時，y=2x-6=-2，
∴當(dāng)M（2，-2）時，△QMA的周長最�。�

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；會利用兩點之間線段最短解決最短路徑問題；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．