Question

10．（1）已知：如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD邊上，BE=DF，連接CE，AF．求證：AF=CE．
（2）如圖2，AB切⊙O于點(diǎn)B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA．求：劣弧BC的長(zhǎng)．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得DC∥AB，DC=AB，由于DF=BE，則CF=AE，于是可判斷四邊形AFCE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AF=CE；
（2）連接OC，OB，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ABO=90°，在Rt△ABO中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OB=$\frac{1}{2}$OA=1，且∠AOB=60°，再利用BC∥OA得到∠OBC=∠AOB=60°，則可判斷△BOC為等邊三角形，所以∠BOC=60°，然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧BC的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：如圖：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴CF∥AE，
∵DF=BE，
∴CF=AE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AF=CE；
（2）解：連接OC，OB，如圖，

∵AB為圓O的切線，
∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∵OA=2，∠OAB=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$OA=1，∠AOB=60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
而OB=OC，
∴△BOC為等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
∴劣弧BC的長(zhǎng)=$\frac{60•π•1}{180}$=$\frac{1}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式．