Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥AC與CB的延長(zhǎng)線交于E，以AB、BE為鄰邊作長(zhǎng)方形ABEF，連接DF，則DF的長(zhǎng)等于________．

Answer 1

2
分析：易證△CDE≌△CBA，得DE=AB，再求證△DEF為等邊三角形，得DF=DE，求AB即可求得DF．
解答：解：直角△ABC中∠ABC=90°，∠ABC=60°，∴AB=BC=2，
D為AC的中點(diǎn)，
∴CD=CB，∠CDE=∠CBA=90°，
∴△CBA≌△CDE，
∴AB=DE，∠CED=∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠DEF=60°，
作DG∥AF交FE與G，
可見(jiàn)DG為梯形ACEF的中位線，
同時(shí)為FG的垂直平分線，
∴DE=EF，
∴△DEF為等邊三角形，
∴AB=DE=DF，
∵AB=BC，
∴DF=2．
故答案為2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，考查了全等三角形的證明，考查了正三角形的判定，本題中求證DF=AB是解題的關(guān)鍵．