Question

6．當(dāng)a，b，c是實(shí)數(shù)時(shí)．求證：方程x²-（a+b）x+（ab-c²）=0必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．并求兩根相等的條件．

Answer 1

分析 先計(jì)算判別式的值，得到△=（a+b）²-4（ab-c²），利用完全平方公式得到△=（a-b）²+4c²，則根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷△≥0，于是根據(jù)判別式的意義可判斷方程必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；根據(jù)判別式的意義，當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，則利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)易得a-b=0，c=0．

解答 證明：△=（a+b）²-4（ab-c²）
=（a-b）²+4c²，
∵（a-b）²≥0，4c²≥0，
∴△≥0，
∴方程x²-（a+b）x+（ab-c²）=0必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，此時(shí)a-b=0，c=0，即a=b，c=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．