Question

已知拋物線y=ax²+2x+c的圖象與x軸交于點A（3，0）和點C，與y軸交于點B（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點D，使得點D到點B、C的距離之和最小，并求出點D的坐標(biāo)；

（3）在第一象限的拋物線上，是否存在一點P，使得△ABP的面積最大？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（1，2）（3）存在，（ ，）

【解析】解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+c的圖象經(jīng)過點A（3，0）和點B（0，3），

∴，解得。

∴拋物線的解析式為：。

（2）∵，∴對稱軸為x=1。

令，解得x₁=3，x₂=－1，∴C（－1，0）。

如圖1所示，連接AB，與對稱軸x=1的交點即為所求之D點，

由于A、C兩點關(guān)于對稱軸對稱，則此時DB+DC=DB+DA=AB最小。

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

由A（3，0）、B（0，3）可得：

，解得。

∴直線AB解析式為y=－x＋3。

當(dāng)x=1時，y=2，∴D點坐標(biāo)為（1，2）。

（3）結(jié)論：存在。

如圖2，設(shè)P（x，y）是第一象限的拋物線上一點，

過點P作PN⊥x軸于點N，

則ON=x，PN=y，AN=OA－ON=3－x．

∵P（x，y）在拋物線上，∴，代入上式得：

。

∴當(dāng)x= 時，S_△ABP取得最大值。

當(dāng)x=  時，，∴P（， ）。

∴在第一象限的拋物線上，存在一點P，使得△ABP的面積最大，P點的坐標(biāo)為（ ，）。

（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。

（2）連接AB，與對稱軸x=1的交點即為所求之D點．為求D點坐標(biāo)，求出直線AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D點坐標(biāo)。

（3）求出△ABP的面積表達式．這個表達式是一個關(guān)于P點橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法可以確定P點的坐標(biāo)。