Question

15．如圖，已知△ABD和△CEF都是斜邊長為2cm的全等直角三角形，其中∠ABD=∠FEC=60°，且B、D、C、E在同一直線上，DC=4．
（1）求證：四邊形ABFE是平行四邊形．
（2）△ABD沿著BE的方向以每秒1cm的速度運(yùn)動，設(shè)△ABD運(yùn)動的時(shí)間為t s，
①當(dāng)t為何值時(shí)，?ABFE是菱形？請說明理由．
②?ABFE有可能是矩形嗎？若可能，求出t的值及此矩形的面積；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比相等得到AB平行且等于EF，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定即可；
（2）①根據(jù)菱形的對角線的性質(zhì)得到當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)D重合時(shí)，四邊形ABFE是菱形，求出此時(shí)t的值即可；
②當(dāng)四邊形ABFE是矩形時(shí)，∠BAE=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)求得線段CD的長，從而求得t的值，由∠BAE=90°，可得∠AEB=90°-60°=30°，可得BE的長，由勾股定理可得AE的長，利用矩形的面積公式可得矩形的面積．

解答 （1）證明：∵Rt△ABD≌Rt△FEC，
∴AB=EF，∠ABD=∠FEC，
∴AB∥EF，
∴平行四邊形ABFE是平行四邊形；

（2）解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，四邊形ABFE是菱形，
此時(shí)△ABD運(yùn)動的距離為4cm，
∴t=4（s）；
②可能，
當(dāng)四邊形ABFE是矩形時(shí)，∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°-60°=30°，
∵AB=2cm，
∴BE=4cm，BD=1cm，
∴CD=4-1-1=2cm，
∴t=2（s），
∵BE=4cm，AB=2cm，∠BAE=90°，
∴AE=$\sqrt{{BE}^{2}{-AB}^{2}}$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$（cm），
∴矩形ABFE的面積為：2×$2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$（cm²），
∴當(dāng)t=2s時(shí)，?ABFE有可能是矩形，此時(shí)該矩形的面積為4$\sqrt{3}$cm²．

點(diǎn)評 本題主要考查了平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知識，根據(jù)菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)解得t是解答此題的關(guān)鍵．