Question

已知：如圖，點A是等腰直角△ABC的直角頂點，AD∥BC，BD=BC，BD交AC于點E，AF⊥BC，垂足為點F，求證：
（1）AF=

1

2

BD；
（2）∠CBD=30°；
（3）CD=CE．

Answer 1

考點：含30度角的直角三角形,等腰三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）△ABC為等腰直角三角形，AF⊥BC，可知AF=

1

2

BC，且BD=BC，可得AF=

1

2

BD；
（2）過D作DG⊥BC于點G，則DG=AF=

1

2

BD，可知sin∠CBD=

1

2

，可求得∠CBD的度數(shù)；
（3）在△BCE中利用外角可得∠CED=45°+30°=75°，在△BCD中∠CBD=30°，可求得∠CDB=75°，可得到CD=CE．

解答：證明：
（1）∵△ABC為等腰直角三角形，AF⊥BC，
∴AF=

1

2

BC，
∵BD=BC，
∴AF=

1

2

BD；
（2）如圖，過D作DG⊥BC于點G，則DG=AF，
∵AF=

1

2

BD，
∴DG=

1

2

BD，
∴∠CBD=30°；
（3）∵∠CED=∠ECB+∠EBC=45°+30°=75°，
而在△BCD中，∠CDB=

180°-30°

2

=75°，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE．

點評：本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．注意外角性質(zhì)的利用．