Question

4．已知拋物線y=x²-2bx+c
（1）若拋物線的頂點坐標為（2，-3），求b，c的值；
（2）若b+c=0，是否存在實數(shù)x，使得相應的y的值為1，請說明理由；
（3）若c=b+2且拋物線在-2≤x≤2上的最小值是-3，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到拋物線為y=（x-2）²-3，整理成一般式即可求得b，c的值；
（2）令y=1，判斷所得方程的判別式大于0即可求解；
（3）求得函數(shù)的對稱軸是x=b，然后分成b≤-2，-2＜b＜2和b≥2三種情況進行討論，然后根據(jù)最小值是-3，即可解方程求解．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-2bx+c
∴a=1，
∵拋物線的頂點坐標為（2，-3），
∴y=（x-2）²-3，
∵y=（x-2）²-3=x²-4x+1，
∴b=2，c=1；

（2）由y=1得 x²-2bx+c=1，
∴x²-2bx+c-1=0
∵△=4b²+4b+4=（2b+1）²+3＞0，
則存在兩個實數(shù)，使得相應的y=1；

（3）由c=b+2，則拋物線可化為y=x²-2bx+b+2，其對稱軸為x=b，
①當x=b≤-2時，則有拋物線在x=-2時取最小值為-3，此時
-3=（-2）²-2×（-2）b+b+2，解得b=-$\frac{9}{5}$，不合題意；
②當x=b≥2時，則有拋物線在x=2時取最小值為-3，此時
-3=2²-2×2b+b+2，解得b=3，
③當-2＜b＜2時，則$\frac{4（b+2）-4^{2}}{4}$=-3，化簡得：b²-b-5=0，解得：
b₁=$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$（不合題意，舍去），b₂=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$．
綜上：b=3或$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的最值，注意討論對稱軸的位置是本題的關鍵．