Question

已知如圖，所對弦AB=，弓形的高CD為4，求這個弓形ACB的面積．

Answer 1

解：連接OA、OB、OD，
∵AB是⊙O的弦，CD是弓形的高，
∴D是弦AB的中點，
∴OD⊥AB，
∴O、D、C三點共線，
在Rt△ODA中，設OA=r，則OD=r-4，
根據勾股定理OA²=OD²+AD²，
即r²=（r-4）²+（4）²，
∴r=8，
∴OD=8-4=4，
∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，
根據圓及弦的性質得∠BOD=∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴S_扇形OAB=120°÷360°×πr²=π×8²=π，
又S_△AOB=AB•OD=×8×4=16，
∴S_弓形ACB=S_扇形OAB-S_△AOB，
=π-16，
=．
分析：構造直角三角形，利用勾股定理求出半徑，就可以知道OD的長度；再根據直角三角形邊的值，確定出扇形的圓心角，也就可以求出扇形的面積和三角形OAB的面積，從而弓形的面積也就得到了．
點評：構造直角三角形利用勾股定理求出圓的半徑是解題的關鍵．