Question

如圖，在直角梯形紙片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD>AD，將紙片沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)E處，折痕為DF，連接EF并展開(kāi)紙片。
（1）求證：四邊形ADEF是正方形；
（2）取線段AF的中點(diǎn)G，連接EG，如果BG=CD，試說(shuō)明四邊形GBCE是等腰梯形。

Answer 1

證明：（1）∵∠A=90°，AB∥DC， ∴∠ADE＝90°， 由沿DF折疊后△DAF與△DEF重合， 知AD=DE，∠ADF=∠EDF=45°， ∴AD=AF=ED=EF， ∴四邊形ADEF是菱形，且∠A＝90°， ∴四邊形ADEF是正方形。 （2）∵CE∥BG，且CE≠BG， ∴四邊形GBCE是梯形， ∵四邊形ADEF是正方形， ∴AD=FE，∠A＝∠GFE＝90°， 又∵點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)， ∴AG=FG，連接DG， 在△AGD與△FGE中，∵AD=FE，∠A＝∠GFE，AG=FG， ∴△AGD≌△FGE， ∴∠DGA=∠EGB， ∵BG=CD，BG∥CD， ∴四邊形BCDG是平行四邊形， ∴DG∥CB， ∴∠DGA=∠B， ∴∠EGB=∠B， ∴四邊形GBCE是等腰梯形。