Question

一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=12mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．

（1）求證：△AEF∽△ABC；

（2）求這個正方形零件的邊長；

（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問這個矩形的最大面積是多少？

Answer 1

解：（1）：（1）∵四邊形EFGH為正形，

∴BC∥EF，

∴△AEF∽△ABC；

（2）設邊長為xmm，

∵矩形為正方形，

∴EF∥BC，EG∥AD，

（2）設EG=EF=x，則ND=x,AN=80-x,

∵△AEF∽△ABC，

∴，

即，

解得x=48．

答：若這個矩形是正方形，那么邊長是48mm．

(3) 設EG=KD=x，則AK=80-x.

∵△AEF∽△ABC，

∴，

即，

∴EF=80-，

∴矩形面積S=x(120-)=-²+120x=-²+2400,

故當x=40時，此時矩形的面積最大，最大面積為2400mm²．