Question

20．如圖，在?ABCD中，E、F為對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF，連接DE、BF，
（1）寫出圖中所有的全等三角形；
（2）求證：DE∥BF．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AD=CB，AB∥CD，AD∥CB，證出內(nèi)錯(cuò)角相等∠BAF=∠DCE，∠DAE=∠BCF，由SSS證明△ABC≌△CDA；由SAS證明△ABF≌△CDE；由SAS證明△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）由△ABF≌△△CDE，得出對(duì)應(yīng)角相等∠AFB=∠CED，即可證出DE∥BF．．

解答 （1）解：△ABC≌△CDA，△ABF≌△△CDE，△ADE≌△CBF；理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=CB，AB∥CD，AD∥CB，
∴∠BAF=∠DCE，∠DAE=∠BCF，
在△ABC和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{CB=AD}&{\;}\\{AC=CA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在△ABF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠BAF=∠DCE}&{\;}\\{AF=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（SAS）；
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CB}&{\;}\\{∠DAE=∠BCF}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）證明：∵△ABF≌△△CDE，
∴∠AFB=∠CED，
∴DE∥BF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．