Question

如圖，⊙O為△ABC的外接圓，弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB=90°，
（1）求證：

PA

=

PB

；
（2）求證：AC-BC=

2

PC．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)PA、PB，CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB=90°得到∠ACP=45°，AB為⊙O的直徑，則∠PAB=45°，根據(jù)圓周角定理得

PA

=

PB

；
（2）作PD⊥PC交AC于D點，則DC=

2

PC，再證明△PDA≌△PCB，得到AD=BC，所以AC-BC=AC-AD=DC=

2

PC．

解答：證明：（1）連結(jié)PA、PB，如圖，
∵弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB=90°，
∴∠ACP=45°，AB為⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB=45°，
∴

PA

=

PB

；
（2）作PD⊥PC交AC于D點，如圖，
則△PDC為等腰直角三角形，
∴DC=

2

PC，
∵

PA

=

PB

，
∴PA=PB，
∵∠PDC=45°，
∴∠PDA=135°，
而∠PCB=∠PCA+∠ACB=135°，
∴∠PDC=∠PCB，
∵∠PAD=∠PBC，
∴△PDA≌△PCB，
∴AD=BC，
∴AC-BC=AC-AD=DC=

2

PC．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰直角三角形性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．