Question

如圖1，在直角坐標系中，已知點A（0，2）、點B（－2，0），過點B和線

段OA的中點C作直線BC，以線段BC為邊向上作正方形BCDE.

（1）填空：點D的坐標為（      ），點E的坐標為（      ）.

（2）若拋物線經(jīng)過A、D、E三點，求該拋物線的解析式.

（3）若正方形和拋物線均以每秒個單位長度的速度沿射線BC同時向上平移，直至正方形的頂點E

落在y軸上時，正方形和拋物線均停止運動.

①在運動過程中，設正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為s，求s關于平移時間t（秒）的函數(shù)關系式，

并寫出相應自變量t的取值范圍.

②運動停止時，求拋物線的頂點坐標.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）D（－1，3），E（－3，2）。

         （2）拋物線經(jīng)過（0，2）、（－1，3）、（－3，2），則

，解得  。

∴拋物線的解析式為

?         （3）①求出端點的時間：

當點D運動到y(tǒng)軸上時，如圖1，DD₁=DC=BC =，t=。

當點B運動到y(tǒng)軸上時，如圖2，BB₁=BC=，t=。

當點E運動到y(tǒng)軸上時，如圖2，EE₁=ED＋DE₁=，t=。

當0＜t≤時，如圖4，正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為△CC′F的面積，設D′C′交y軸于點F。

∵tan∠BCO==2，∠BCO=∠FCC′，

∴tan∠FCC′=2, 即=2。

∵CC′=t，∴FC′=2t。

∴S_△CC′F?=CC′·FC′=t×t=5 t²。

當＜t≤1時，如圖5，正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為直角梯形CC′D′G的面積，設D′E′交y軸于點G，過G作GH⊥B′C′于H。

∵GH=BC=，∴CH=GH=。

∵CC′=t，∴HC′= GD′=t－。

∴

當1＜t≤時，如圖6，正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為五邊形B′C′D′MN的面積，設D′E′、E′B′分別交y軸于點M、N。

∵CC′=t，B′C′=,

∴CB′=t－�！郆′N=2CB′=t－。

∵B′E′=，∴E′N=B′E′－B′N=－t。

∴E′M=E′N= (－t)。

∴。

∴。

綜上所述，S與x的函數(shù)關系式為：

。

②當點E運動到點E′時，運動停止，如圖7所示。

∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′，

∴△BOC∽△E′B′C�！�。

∵OB=2，B′E′=BC=，∴。

∴CE′=。

∴OE′=OC+CE′=1+。∴E′（0，）。

由點E（－3，2）運動到點E′（0，）,可知整條拋物線向右平移了3個單位，向上平移了個單位。

∵，∴原拋物線頂點坐標為（）

?∴運動停止時，拋物線的頂點坐標為（）。

【解析】二次函數(shù)綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，曲線上點的坐標與方程的關系。

【分析】（1）構(gòu)造全等三角形，由全等三角形對應線段之間的相等關系，求出點D、點E的坐標：

由題意可知：OB=2，OC=1。

如圖8所示，過D點作DH⊥y軸于H，過E點作EG⊥x軸于G。

易證△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（－1，3）。

同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（－3，2）。

∴D（－1，3）、E（－3，2）。

（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。

（3）①為求s的表達式，需要識別正方形（與拋物線）的運動過程．正方形的平移，從開始到結(jié)束，總共歷時秒，期間可以劃分成三個階段： 0＜t≤， ＜t≤1，1＜t≤，對照圖形，對每個階段的表達式求解即可。

②當運動停止時，點E到達y軸，點E（－3，2）運動到點E′（0，），可知整條拋物線向右平移了3個單位，向上平移了個單位．由此由平移前的拋物線頂點坐標推出平移后的拋物線頂點坐標。