Question

【題目】已知直線y＝2x－5與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C（1，n）在直線AB上，點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，且CD=．

（1）求點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo).

（2）若P為y軸上的點(diǎn)，當(dāng)△PCD為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）若點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)O重合），N為直線y＝2x－5上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N，使得△AMN與△AOB全等？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）C（1，-3），D（0，-6）；（2）P(0, ) 、P(0, ) 、P(0,0)、P(0, )；（3）N（5,5）或N（）或N（）.

【解析】試題分析：（1）先確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，d）(d<0)，則有CD2=（1-0）2+（-3-d）2=，解之即可得；

（2）分別以點(diǎn)C、點(diǎn)D為圓心，CD為半徑畫(huà)圓，圓與y軸即為滿足條件的點(diǎn)，作CD的中垂線與y軸的交點(diǎn)也滿足條件，然后根據(jù)CD的長(zhǎng)以及等腰三角形的性質(zhì)即可得；

（3）分△AM1N1≌△AOB與△AM1N1≌△ABO兩種情況，畫(huà)出相應(yīng)的圖形進(jìn)行求解即可得.

試題解析：（1）當(dāng)x=1時(shí)，y＝2x－5=-3，所以C（1，-3），

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，d）(d<0)，則有CD2=（1-0）2+（-3-d）2= ，解得：d=0（舍去）或d=-6，所以D（0，-6）；

（2）當(dāng)P1C=CD時(shí)，由（1）計(jì)算可知此時(shí)P1與原點(diǎn)O重合，所以P1（0，0），

當(dāng)PC為底時(shí)，如圖，此時(shí)PD=CD= ，所以P2（0，-6-）、P3（0，-6+），

當(dāng)CD為底邊時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，p），由題意則有（-3-p）2+12=(-6-p)2，解得：p= ，所以P4（0， ），

綜上，點(diǎn)P坐標(biāo)為： P1(0，0)、P2(0， ) 、P3(0， )、P4(0， )；

(3)由y＝2x－5與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B可知OA=2.5，OB=5，AB= ，

如圖所示，當(dāng)△AM1N1≌△AOB時(shí)，AM=AO，M1N1=OB，所以N1（5，5），

當(dāng)△AM1N1≌△ABO時(shí)，AN3=AO=2.5，過(guò)點(diǎn)N3作N3E2⊥OA，

則有△AE2N3∽△AOB，∴ ，

即，∴E2N3= ，AE2= ，

同理E1N2= ，AE1= ，

∴N3（），N2（），

綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：N1（5，5），N2（），N3（）.