Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，如圖①，當(dāng)∠C=90°，AD為∠ABC的角平分線(xiàn)時(shí)，在AB上截取AE=AC，連接DE，易證AB=AC+CD。
（1）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?不需要證明，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想；
（2）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明。

Answer 1

解：（1）猜想：AB=AC+CD；
（2）猜想：AB+AC=CD，
證明：在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取AE=AC，連接ED，
∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD=∠CAD．
在△EAD與△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△EAD≌△CAD．
∴ED=CD，∠AED=∠ACD．
∴∠FED=∠ACB，
又∠ACB=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∠EDB=∠B，
∴EB=ED，
∴EA+AB=EB=ED=CD．
∴AC+AB=CD。