Question

2．如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD，我們把形如圖1的圖形稱之為“對頂三角形”．如圖2，∠ACO和∠DBO的平分線CP和BP相交于點(diǎn)P，并且與AB、CD分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）仔細(xì)觀察，在圖2中有3個以線段OC為邊的“對頂三角形”；
（2）在圖2中，若∠A=40°，∠D=50°，求∠P的度數(shù)．
（3）在圖2中，若設(shè)∠A=α，∠D=β，∠ACP=∠PCD，∠ABP=∠PBD，試問∠P與∠A、∠D之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（用α、β表示∠P），并說明理由；
（4）如圖3，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為360°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“對頂三角形”的定義容易得出結(jié)果；
（2）由角平分線得出∠ACP=∠DCP，∠ABP=∠DBP，由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等得出∠ACP+∠A=∠ABP+∠P，∠DCP+∠P=∠DBP+∠D，得出∠A-∠P=∠D-∠P，即可得出結(jié)果；
（3）由角平分線得出∠ACP=∠DCP，∠ABP=∠DBP，由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等得出∠ACP+∠A=∠ABP+∠P，∠DCP+∠P=∠DBP+∠D，得出∠A-∠P=∠D-∠P，即可得出結(jié)論；
（4）由三角形的外角性質(zhì)得出∠1=∠2+∠E，∠2=∠C+∠D，∴∠1=∠C+∠D+∠E，在四邊形ABMF中，由四邊形內(nèi)角和即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）在圖2中有 3個以線段OC為邊的“對頂三角形”；
故答案為：3；
（2）∵∠ACO和∠DBO的平分線CP和BP相交于點(diǎn)P，
∴∠ACP=∠DCP，∠ABP=∠DBP，
∵∠ACP+∠A=∠ABP+∠P，∠DCP+∠P=∠DBP+∠D，
∴∠A-∠P=∠D-∠P，
∴∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D），
∵∠A=40°，∠D=50°，
∴∠P=$\frac{1}{2}$（40°+50°）=45°；  
 （3）∠P=$\frac{1}{2}$（α+β），理由如下：
∵∠ACO和∠DBO的平分線CP和BP相交于點(diǎn)P，
∴∠ACP=∠DCP，∠ABP=∠DBP，
∵∠ACP+∠A=∠ABP+∠P，∠DCP+∠P=∠DBP+∠D，
∴∠A-∠P=∠D-∠P，
∴∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D），
∴∠P=$\frac{1}{2}$（α+β）；
（4）如圖所示：
由三角形的外角性質(zhì)得：∠1=∠2+∠E，∠2=∠C+∠D，
∴∠1=∠C+∠D+∠E，
在四邊形ABMF中，∠A+∠B+∠1+∠F=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了角平分線定義、“對頂三角形”定義、三角形內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．