Question

9．如圖，在直角坐標系中，直線y=-x+k經過拋物線y=ax²+bx+c的頂點A（-1，5）和另一點B（8，-4）．
（1）求拋物線的解析式和k的值；
（2）動點P是直線AB上方拋物線上一點（不與A，B重合），過點P作PD⊥AB于D，作PC⊥x軸于C，交直線AB與E．
①設△PDE的周長為L，點P的橫坐標為x，求L與x之間的函數關系式；
②問是否存在一點P，使得以E為圓心，PD為半徑的圓與兩坐標軸相切？若存在請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用頂點式假設出二次函數解析式進而得出a，k的值；
（2）①得出Rt△PDE∽Rt△GOK，進而利用相似三角形的性質得出L與x之間的函數關系式；
②設點P坐標為（x，y），若存在，則點P在第一象限的角平分線上，則有x=y，進而得出x的值即可得出P點坐標．

解答 解：（1）依題意可設拋物線的解析式為：y=a（x+1）²+5，
∴-4=a（8+1）²+5．
∴a=-$\frac{1}{9}$，
∴拋物線y=-$\frac{1}{9}$（x+1）²+5．
即y=-$\frac{1}{9}$x²-$\frac{2}{9}$x+$\frac{44}{9}$．
∵直線y=-x+k過點A（-1，5），
則5=1+k
解得：k=4；
  
（2）①設直線解析式為y=-x+k與坐標軸交于G，K兩點，
則G（0，4），K（4，0）．
∴∠GKO=45°，GK=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∴Rt△ECK中，EC=CK=4-x．
∴PE=PC-EC=y-x．
由題意，知Rt△PDE∽Rt△GOK，
∴$\frac{PE}{GK}$=$\frac{L}{8+4\sqrt{2}}$，
∴$\frac{y-x}{4\sqrt{2}}$=$\frac{L}{8+4\sqrt{2}}$，
∴L=$\frac{（y-x）（8+4\sqrt{2}）}{4\sqrt{2}}$
=（y-x）（$\sqrt{2}+$1），
=-$\frac{1}{9}$x²-$\frac{2}{9}$x+$\frac{44}{9}$-x）（$\sqrt{2}+1$），
=-$\frac{\sqrt{2}-1}{9}$x²-$\frac{11（\sqrt{2}+1）}{9}$x+$\frac{44}{9}$（$\sqrt{2}+1$），

②存在．
設點P坐標為（x，y），若存在，則點P在第一象限的角平分線上，則有x=y，
∴x=-$\frac{1}{9}$（x+1）²+5，
解得：x=$\frac{-11±\sqrt{121+176}}{2}$=$\frac{-11±\sqrt{297}}{2}$，
∵P在第一象限，
∴x=$\frac{-11+\sqrt{297}}{2}$，
∴P為（$\frac{-11+\sqrt{297}}{2}$，$\frac{-11+\sqrt{297}}{2}$）．

點評 此題主要考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用頂點式求二次函數、一次函數的解析式、相似三角形的判定與性質、二次函數的性質綜合性較強，正確利用相似三角形的判定與性質是解題關鍵．