Question

11．已知函數(shù)y=4x²-4x+m的圖象與x軸的交點坐標為（x₁，0），（x₂，0），且（x₁+x₂）（4x₁²-5x₁-x₂）=8，則該函數(shù)的最小值為（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． 10
• D． -10

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線與x軸的交點問題得到x₁與x₂是4x²-4x+m=0的兩根，由一元二次方程的解得4x₁²-4x₁+m=0，由根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=$\frac{m}{4}$，則4x₁²=4x₁-m，接著由（x₁+x₂）（4x₁²-5x₁-x₂）=8得到（x₁+x₂）（-m-x₁-x₂）=8，則1•（-m-1）=8，解得m=-9，所以拋物線解析式為y=4x²-4x-9，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最小值．

解答 解：∵函數(shù)y=4x²-4x+m的圖象與x軸的交點坐標為（x₁，0），（x₂，0），
∴x₁與x₂是4x²-4x+m=0的兩根，
∴4x₁²-4x₁+m=0，x₁+x₂=1，x₁•x₂=$\frac{m}{4}$，
∴4x₁²=4x₁-m，
∵（x₁+x₂）（4x₁²-5x₁-x₂）=8，
∴（x₁+x₂）（4x₁-m-5x₁-x₂）=8，
即（x₁+x₂）（-m-x₁-x₂）=8，
∴1•（-m-1）=8，解得m=-9，
∴拋物線解析式為y=4x²-4x-9，
∵y=4（x-$\frac{1}{2}$）²-10，
∴該函數(shù)的最小值為-10．
故選D．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程．解決本題的關鍵是利用一元二次方程的解的定義把4x₁²-5x₁-x₂降次．