Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過點M（3，0），且平行于y軸．
（1）如果△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形是△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁關(guān)于直線l的對稱圖形是△A₂B₂C₂，寫出△A₂B₂C₂的三個頂點的坐標(biāo)；
（2）如果點P的坐標(biāo)是（-a，0），其中a＞0，點P關(guān)于y軸的對稱點是P₁，點P₁關(guān)于直線l的對稱點是P₂，求PP₂的長．

Answer 1

解：（1）△A₂B₂C₂的三個頂點的坐標(biāo)分別是A₂（4，0），B₂（5，0），C₂（5，2）；

（2）如圖1，當(dāng)0＜a≤3時，∵P與P₁關(guān)于y軸對稱，P（-a，0），
∴P₁（a，0），
又∵P₁與P₂關(guān)于l：直線x=3對稱，
設(shè)P₂（x，0），可得：=3，即x=6-a，
∴P₂（6-a，0），
則PP₂=6-a-（-a）=6-a+a=6．
如圖2，當(dāng)a＞3時，
∵P與P₁關(guān)于y軸對稱，P（-a，0），
∴P₁（a，0），
又∵P₁與P₂關(guān)于l：直線x=3對稱，
設(shè)P₂（x，0），可得：=3，即x=6-a，
∴P₂（6-a，0），
則PP₂=6-a-（-a）=6-a+a=6．
分析：（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)特點是橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同可以得到△A₁B₁C₁各點坐標(biāo)，又關(guān)于直線l的對稱圖形點的坐標(biāo)特點是縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)之和等于3的二倍，由此求出△A₂B₂C₁的三個頂點的坐標(biāo)；
（2）P與P₁關(guān)于y軸對稱，利用關(guān)于y軸對稱點的特點：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，求出P₁的坐標(biāo)，再由直線l的方程為直線x=3，利用對稱的性質(zhì)求出P₂的坐標(biāo)，即可PP₂的長．
點評：動手操作既是數(shù)學(xué)活動的一種形式，也是考查學(xué)生對概念理解與操作技能掌握情況的一種有效方式．本題設(shè)置了軸對稱變化和點的坐標(biāo)變化的有關(guān)問題，對于考查目標(biāo)的實現(xiàn)具有很好的作用．題目的背景清晰、明快，設(shè)計自然、合理，尤其是第（2）小題設(shè)置的問題既具有一定的開放性又重點考查了分類的數(shù)學(xué)思想，使試題的考查有較高的效度．發(fā)揮了試題的整體效應(yīng)：概念理解與操作技能掌握情況．本題一個考查學(xué)生“軸對稱”與坐標(biāo)的相關(guān)知識的試題，學(xué)生可以根據(jù)自己的理解選擇自由發(fā)揮的空間，問題的解決為學(xué)生提供了自主探索的空間，考查了學(xué)生關(guān)于變換與坐標(biāo)知識的綜合運用能力．其解決的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧美，體現(xiàn)了對學(xué)生“操作--發(fā)現(xiàn)--猜想”的能力的考查，注意了題目的可推廣性，由學(xué)生解答本題的情況可以推及學(xué)生具有這些特質(zhì)的情形．